lim - master - klinich/mark

lim
70 строк2 KB
klinich
update lim
20 окт 2025, 19:22
20 окт 2025, 19:22af97274
Рассмотрим предел: 

\[
\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{(n^2 + 1)(n + 2)} - \sqrt{(n^2 - 1)(n + 2)} \right)
\]

---

### Шаг 1: Вынесем общий множитель

Оба корня содержат множитель \( (n + 2) \). Вынесем его:

\[
= \lim_{n \to \infty} \sqrt{n + 2} \cdot \left( \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1} \right)
\]

Получаем неопределённость вида \( \infty \cdot 0 \).

---

### Шаг 2: Умножим на сопряжённое

Преобразуем разность корней:

\[
\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1}
= \frac{(\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1})(\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1})}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}}
= \frac{(n^2 + 1) - (n^2 - 1)}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}}
= \frac{2}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}}
\]

Подставим обратно:

\[
\lim_{n \to \infty} \sqrt{n + 2} \cdot \frac{2}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}}
= \lim_{n \to \infty} \frac{2\sqrt{n + 2}}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n^2 - 1}}
\]

---

### Шаг 3: Вынесем главные степени

Вынесем \( n \) из числителя и знаменателя:

- \( \sqrt{n + 2} = \sqrt{n} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{n}} \)
- \( \sqrt{n^2 + 1} = n \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} \)
- \( \sqrt{n^2 - 1} = n \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} \)

Тогда:

\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt{n} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}} \right)}
= \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt{n}}{n} \cdot \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{n}}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}}
\]

Упростим:

\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1 + o(1)}{1 + 1 + o(1)}
= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{2}
= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0
\]

---

### Ответ:

\[
\boxed{0}
\]