Определение
Применение для решения задач
Рекурсивное решение задач
Последовательное вычисление
Создание стека индексов
Алгоритмы динамического программирования
Метод сверху вниз (Top-Down)
Метод снизу вверх (Down-Top)
Пример задач
Задача про последовательность чисел Фибоначчи
Разработка калькулятора
Поиск оптимального пути
Определение
Динамическое программирование — это техника решения проблем, состоящая из нескольких шагов.
1. Разбить проблему на меньшие подзадачи: большая проблема делится на несколько более мелких.
2. Сохранять промежуточные результаты: это делается в таблице или массиве, чтобы избежать повторных вычислений.
3. Решать подзадачи снизу вверх: самые маленькие решаются первыми, а затем пользователь постепенно переходит к более крупным, используя сохраненные результаты.
4. Объединить решения: их соединяют, чтобы найти решение исходной проблемы.
Этот метод полезен для решения проблем оптимизации, основной целью которых является нахождение наилучшего решения среди множества вариантов. Он находит широкое применение в разных сферах. Перечислим основные.
Информатика:
- оптимизация алгоритмов (сортировка, поиск);
- обработка последовательностей (выравнивание последовательностей, распознавание речи);
- компьютерная графика (рендеринг изображения, анимация);
- анализ данных (машинное обучение, распознавание образов);
- теория игр (поиск оптимальных стратегий).
Инженерное дело:
- управление запасами (контроль инвентаря, оптимизация заказов);
- планирование производства (оптимизация цепочки поставок, планирование ресурсов);
- оптимизация проектирования (проектирование антенн, моделирование потоков жидкостей).
Финансы и экономика:
- ценообразование опционов (модель Блэка-Шоулза);
- управление портфелем (оптимизация распределения активов);
- эконометрика (моделирование временных рядов, прогнозирование спроса).
Биоинформатика:
- сборка генома (выравнивание последовательностей ДНК);
- анализ белковой структуры (предсказание сворачивания белка);
- фармацевтика (моделирование молекулярных взаимодействий).
Робототехника:
- планирование пути (поиск оптимальных траекторий);
- управление движением (оптимизация траекторий движения);
- обучение роботов (программирование со случайными процессами).
Другие области:
- лингвистика (обработка языка, машинное обучение);
- социальные науки (анализ сетей, моделирование распространения информации);
- операционные исследования (линейное, целочисленное программирование).
- сочинение музыкальных произведений.
Применение для решения задач
Рассмотрим подробнее, какие функции, алгоритмы, характеристики динамического программирования применяются для решения задач.
Рекурсивное решение задач
Рекурсивные алгоритмы — эффективный инструмент для решения динамических задач программным путем. Алгоритм рекурсивно вызывает сам себя для решения различных случаев, но вместо сохранения всех состояний и промежуточных результатов в стеке он хранит их в специально отведенных массивах или таблицах. Затем он проверяет, были ли эти состояния уже решены. Если да, то использует эти сохраненные значения вместо повторного вычисления. Это существенно сокращает время работы, переводя экспоненциальную сложность рекурсии в линейную или полиномиальную.
Последовательное вычисление
Последовательное вычисление — важная характеристика динамического программирования. Вот некоторые ее особенности:
- предопределение всех подзадач и промежуточных решений — перед началом решения основной задачи алгоритм идентифицирует все возможные подзадачи, которые необходимо решить, а также их последовательность;
- пошаговое решение подзадач — алгоритм решает все подзадачи в строго определенном порядке, начиная с самых простых и последовательно переходя к более сложным;
- хранение промежуточных решений — результаты сохраняются в таблицах или массивах для дальнейшего использования;
- использование сохраненных значений — вместо повторного вычисления ранее решенных подзадач алгоритм извлекает их сохраненные значения из таблицы, экономя время и пространство.
Последовательное вычисление гарантирует, что каждая подзадача решается не более одного раза. Это устраняет избыточность, значительно повышая эффективность алгоритма.
Создание стека индексов
Стек индексов — это вспомогательная структура данных, используемая в динамическом программировании для отслеживания оптимальных подрешений, а также для восстановления оптимального решения основной задачи. Он реализуется с помощью стека, который поддерживает операции вставки и извлечения последнего элемента (LIFO).
При решении подзадач алгоритм динамического программирования сохраняет индексы оптимальных подрешений в стеке индексов. Когда решается основная задача, стек индексов используется для восстановления оптимального решения путем обратного обхода стека в сочетании с извлечением индексов оптимальных подрешений, которые вместе образуют оптимальное решение основной задачи.
Создание стека индексов — эффективный способ отслеживания оптимальных подрешений и восстановления оптимального решения без необходимости сохранения всех промежуточных результатов.
Алгоритмы динамического программирования
Рассмотрим подробнее основные алгоритмы динамического программирования.
Метод сверху вниз (Top-Down)
Метод Top-Down — это подход к решению задач динамического программирования, который начинается с решения основной задачи, которая постепенно разбивается на более мелкие подзадачи. Он использует мемоизацию для хранения промежуточных результатов и предотвращения повторных вычислений.
Алгоритм сверху вниз решает подзадачи в порядке, обратном их зависимости. Он сначала пытается решить основную задачу. Если для основной задачи не найдено сохраненного решения, она делится на более мелкие подзадачи, и для каждой из них вызывается рекурсивная функция. Этот процесс продолжается, пока не будут решены все необходимые подзадачи.
Этот метод прост в реализации и часто приводит к более читаемому коду. Однако он может быть менее эффективным, чем метод снизу вверх, поскольку он может выполнять избыточные вычисления, особенно для задач с перекрывающимися подзадачами.
Вот шаги метода сверху вниз:
- начните с решения основной задачи;
- если решение для нее уже сохранено, верните его;
- разделите основную задачу на более мелкие подзадачи;
- рекурсивно вызовите алгоритм для каждой подзадачи;
- сохраните результат решения подзадач;
- объедините результаты для получения решения основной задачи;
- верните решение.
Метод снизу вверх (Down-Top)
Метод Down-Top в динамическом программировании — это подход, при котором проблема решается, начиная с простейших случаев; постепенно вычисляются решения для более сложных случаев.
Он отличается от метода «сверху вниз», который начинает с наибольшего случая: подзадачи решаются один раз и кэшируются, устраняя необходимость повторных вычислений.
Используя принцип оптимальной подструктуры, метод «снизу вверх» вычисляет наборы перекрывающихся подзадач, повторяющееся решение для которых хранится в таблице. Затем значения из таблицы объединяются для получения окончательного решения.
Этот подход эффективен, когда подзадачи часто перекрываются, что приводит к высокой стоимости повторных вычислений. Он также гарантирует, что каждый субоптимальный ответ вычисляется только один раз, что улучшает общую производительность.
Пример задач
Теперь разберем классические примеры задач динамического программирования.
Задача про последовательность чисел Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи — это список чисел, в котором первые два элемента равны 1, а каждый последующий элемент является суммой двух предыдущих. Эту последовательность можно вычислить рекурсивно следующим образом:
```
F(0) = 1
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) для n > 1
```
Однако этот рекурсивный алгоритм неэффективен, поскольку он выполняет многократные однотипные вычисления. Для оптимизации алгоритма можно использовать динамическое программирование.
Мемоизация — это техника, которая позволяет запоминать результаты вычислений для более быстрого доступа в будущем. В контексте вычисления числа Фибоначчи мы можем использовать мемоизацию для хранения ранее вычисленных значений.
Вот модифицированный алгоритм Фибоначчи с мемоизацией на Python:
```
def fib_memo(n, memo=None):
# Если таблица мемоизации не задана, создаем ее
if memo is None:
memo = {}
# Если значение для n уже есть в таблице, возвращаем его
if n in memo:
return memo[n]
# Вычисляем значение для n и сохраняем его в таблице
result = fib_memo(n-1, memo) + fib_memo(n-2, memo)
memo[n] = result
# Возвращаем вычисленное значение
return result
```
Этот алгоритм с мемоизацией значительно более эффективен, чем рекурсивный алгоритм без мемоизации. Он также имеет линейную временную и линейную пространственную сложность.
Мы можем еще больше упростить код, используя декоратор мемоизации. Это функция, которая принимает другую функцию и возвращает новую, которая ведет себя определенным образом.
Вот пример декоратора мемоизации на Python:
```
def memoize(func):
memo = {}
def wrapper(*args, **kwargs):
key = str(args) + str(kwargs)
if key not in memo:
memo[key] = func(*args, **kwargs)
return memo[key]
return wrapper
```
Использование декоратора мемоизации с алгоритмом Фибоначчи:
```
@memoize
def fib(n):
if n < 2:
return 1
else:
return fib(n-1) + fib(n-2)
```
Этот код намного компактнее и проще для понимания, чем предыдущая версия с ручной реализацией мемоизации.
На основе этих данных можно построить диаграмму, где каждая подзадача отображается только один раз. Она демонстрирует взаимосвязь задач. Если две задачи зависят от одной и той же подзадачи, на нее будут указывать две стрелки.
Полученная диаграмма является направленным ациклическим графом (DAG). А это уже означает следующее:
- существуют узлы (задачи) и ребра (зависимости между ними);
- ребра имеют направление, одна подзадача зависит от другой;
- отсутствуют циклы, что исключает возможность возврата к исходной подзадаче при последовательном прохождении по стрелкам.
В DAG можно упорядочить вершины таким образом, чтобы при последовательном переходе по ним направление стрелок всегда соблюдалось. Практически это означает возможность расположения подзадач в порядке, при котором результат каждой подзадачи будет доступен до его использования в более крупной задаче.
Для последовательности Фибоначчи такой порядок соответствует возрастанию входных данных. То есть сначала вычисляется F0, затем F1, F2 и так далее до Fn.
Еще одно важное свойство DAG заключается в том, что каждая подзадача зависит только от двух других. При вычислении Fm требуются только результаты Fm-1 и Fm-2, а Fm-10 не нужен. Таким образом, можно удалять значения, не участвующие в текущем вычислении.
Формализация алгоритма:
- создадим две локальные переменные для представления последних двух чисел Фибоначчи;
- присвоим им значения F0 (= 1) и F1 (= 1);
- вычислим Fi при i от 2 до n. Каждая операция зависит только от Fi-1 и Fi-2, хранящихся в локальных переменных. Получив результат, удалим Fi-2, заменим его на Fi-1 и запишем Fi в оставшуюся переменную.
Реализация на Python:
import timeit
def fib(n):
a = 1 # f(i - 2)
b = 1 # f(i - 1)
for i in range(2, n + 1):
a, b = b, a + b
return b
print (timeit.timeit('fib(20)', number=100, globals=globals()))
Этот алгоритм имеет линейную временную и постоянную пространственную сложность, так как он хранит только два предыдущих результата.
Разработка калькулятора
Еще одна классическая задача динамического программирования — это разработка калькулятора. По условию у нас имеется калькулятор, выполняющий следующие операции:
- прибавить к числу X единицу;
- умножить число X на 2;
- умножить число X на 3.
Требуется определить минимальное количество операций и последовательность этих операций для преобразования исходного числа 1 в заданное число N.
Вместо того, чтобы использовать наивное решение «методом тыка», которое скорее всего окажется неэффективным, мы можем использовать динамическое программирование для поиска оптимальной последовательности операций.
Алгоритм решения состоит из нескольких шагов.
1. Создать таблицу dp, где dp[i] хранит минимальное количество операций для преобразования 1 в i.
2. Заполнить таблицу dp следующим образом:
- dp[1] = 0
- для каждого i от 2 до N: - dp[i] = min(dp[i-1], dp[i/2], dp[i/3]) + 1. (Если i делится на 2 или 3, рассматривайте эти варианты).
3. Для восстановления последовательности операций, начиная с N, перебирать dp[i] и выполнять следующие действия:
- если dp[i-1] + 1 == dp[i], то операция — прибавление единицы;
- если i делится на 2 и dp[i/2] + 1 == dp[i], то операция — умножение на 2;
- иная операция — умножение на 3.
Пример кода на Java:
public class Calculator {
public static void main(String[] args) {
int n = 32718;
int[] dp = new int[n + 1];
// Заполнение таблицы dp
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + 1; // Прибавление
if (i % 2 == 0) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i / 2] + 1); // Умножение на 2
}
if (i % 3 == 0) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i / 3] + 1); // Умножение на 3
}
}
// Восстановление последовательности операций
StringBuilder operations = new StringBuilder();
int i = n;
while (i > 1) {
if (dp[i - 1] + 1 == dp[i]) {
operations.insert(0, 1);
i--;
} else if (i % 2 == 0 && dp[i / 2] + 1 == dp[i]) {
operations.insert(0, 2);
i /= 2;
} else {
operations.insert(0, 3);
i /= 3;
}
}
System.out.println("Минимальное количество операций: " + dp[n]);
System.out.println("Последовательность операций: " + operations);
}
}
В результате у нас есть эффективный, быстрый, точный метод для определения минимальной последовательности в калькуляторе, который выполняет три базовые операции. Такой алгоритм прост в реализации, он легко масштабируется для больших входных данных.
Поиск оптимального пути
Разберем третью задачу — на поиск оптимального пути из одной точки в другую. Предположим, что у нас есть игрок, который находится в левой верхней клетке прямоугольной таблицы N*M. В каждой клетке записано некоторое количество килограммов еды. За один ход игрок может перемещаться либо вправо, либо вниз (влево и вверх перемещаться запрещено). При проходе через клетку игрок отдает столько килограммов еды, сколько указано в этой клетке (еду отдают при входе в первую и последнюю клетки пути). Требуется найти минимальное количество килограммов еды, которое игрок должен отдать, чтобы добраться до правого нижнего угла таблицы.
Итак, мы можем перейти в любую клетку таблицы либо из клетки, находящейся непосредственно над ней, либо из клетки, находящейся непосредственно слева. Таким образом, оптимальная стоимость перехода в клетку (x, y) может быть выражена как минимум из стоимости переходов в клетки (x-1, y) и (x, y-1).
F(x, y) = min(F(x-1, y), F(x, y-1)) + cost(x, y)
где cost(x, y) - количество еды в клетке (x, y).
Реализация на Java:
public class TableTraversal {
public static void main(String[] args) {
int n = 5; // Количество строк
int m = 5; // Количество столбцов
int[][] table = {
{1, 2, 3, 4, 5},
{6, 7, 8, 9, 10},
{11, 12, 13, 14, 15},
{16, 17, 18, 19, 20},
{21, 22, 23, 24, 25}
};
// Создание таблицы динамического программирования
long[][] dp = new long[n][m];
// Инициализация таблицы граничными значениями
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][0] = Long.MAX_VALUE;
}
for (int j = 0; j < m; j++) {
dp[0][j] = Long.MAX_VALUE;
}
// Заполнение таблицы динамического программирования
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + table[i][j];
}
}
// Минимальная стоимость перехода в правый нижний угол
long minCost = dp[n-1][m-1];
System.out.println("Минимальное количество килограммов еды: " + minCost);
}
}
Использование динамического программирования позволяет найти минимальную массу еды в килограммах, которую должен отдать игрок, чтобы добраться до правого нижнего угла таблицы. Алгоритм имеет временную сложность O(N*M), где N и M — количество строк и столбцов в таблице соответственно.
Аналогичные задачи встречаются в компьютерных играх, олимпиадах по математике и информатике. Кроме того, использование динамического программирования может помочь решить похожие проблемы в повседневной жизни, будь то расчет кратчайшего пути по незнакомой местности или планирование финансов.
В целом, динамическое программирование — это мощная техника решения проблем, которая нашла широкое применение в разных областях. Возможность мемоизации значительно улучшает производительность алгоритмов, делает возможным решение задач, которые иначе были бы невыполнимыми.
Его достоинства очевидны:
- эффективность — алгоритмы намного быстрее и продуктивнее, чем нативные решения, особенно для больших датасетов;
- точность — динамическое программирование гарантирует нахождение оптимального решения, если таковое существует;
- универсальность — применимость к широкому спектру проблем, от классических задач оптимизации до сложных биоинформатических проблем.
Однако динамическое программирование имеет и свои ограничения:
- высокие требования к памяти для хранения таблиц или массивов с промежуточными результатами;
- сложность реализации;
- ограничения размера для очень больших наборов данных из-за высоких требований к памяти и времени.
Динамическое программирование остается ценным инструментом для решения широкого круга проблем, неотъемлемой частью арсенала алгоритмистов и исследователей. По мере развития вычислительных технологий и появления новых приложений оно будет продолжать играть важную роль в решении сложных задач, продвижении границ возможного в области информатики.