Что такое иррациональные числа
Иррациональным называется действительное число (положительное, отрицательное, ноль), которое нельзя записать в виде дроби. В математике оно не может быть выражено в виде a/b, где a и b цельные, а b не равно нулю.
Квадратный корень из двух будет иррационален. Его десятичное представление продолжается вечно без повторений, и его невозможно представить в виде дроби. Значение Эйлера — тоже иррациональная константа, являющаяся основанием натуральных логарифмов.
Люди использовали численные выражения на протяжении всей истории человечества. Наши самые ранние представления о числах и математике были основаны на практической необходимости считать и измерять предметы. Интуитивно понятно, как положительные, ненулевые натуральные выражения могли возникнуть в процессе счета. Также просто понять, как измерение может представить объекты, которые нельзя разделить на целые единицы или размеры которых находятся между целыми выражениями. Изобретение дробей имело практический смысл: они представляли собой отношения натуральных чисел. Открытие положительных рациональных выражений скорее всего было интуитивным.
Возможно, они возникли из чисто практических потребностей, но для пифагорейцев числа были также духовной основой их философии и религии. Физика, этика и духовность пифагорейцев основывались на предпосылке, что «все есть число». Они верили, что все сущее количество звезд на небе, тональность музыкальных гамм, даже добродетель может быть описано и понято с помощью рациональных выражений. Но открытие иррациональности дало понять: несмотря на эту бесконечную плотность, в числовой линии все еще есть места, которые нельзя описать как отношение целых значений.
Существование иррациональных чисел открыл Гиппас из Метапонта, греческий философ пифагорейской школы мысли. Предположительно, он пытался использовать знаменитую теорему своего учителя — (a ^ { 2} + b ^ { 2} = c ^ {2}), чтобы найти длину диагонали единичного квадрата. Это показало, что стороны несоизмеримы с диагональю. Такая длина не выразима как цельное отношение. По легенде, пифагорейцев настолько ужаснула идея несоизмеримости, что они выбросили Гиппаса за борт во время морского путешествия и поклялись хранить существование иррациональности в секрете.
Обозначение и классификация
Как правило, для обозначения иррациональности используется символ «P». Поскольку значения определены отрицательно, набор действительных чисел R, которые не считаются рациональным выражением (Q), называется иррациональным.
Есть два типа нерациональных чисел:
1. Алгебраические числа. Это обычное нерациональное число, получаемое в результате математических операций. Алгебраические числа — те, у которых корни алгебраического уравнения равны квадратному корню из 2.
2. Трансцендентные числа. Это число, которое не считается алгебраическим, то есть не является решением алгебраического уравнения с рациональными числовыми коэффициентами. Трансцендентные значения иррациональны, но не все иррациональные значения трансцендентны. В 1844 году Жозеф Лиувилль открыл существование трансцендентных значений.
Иррациональность применяется в математике для описания различных понятий. В алгебре иррациональные числа можно использовать для работы с уравнениями или для вычисления площади определенных фигур.
В математическом анализе они полезны для нахождения пределов и производных. Эти числа также применяются в геометрии и тригонометрии при вычислении расстояний, углов и площадей. Они используются при изучении теории вероятностей и статистики. Их можно применять для вычисления вероятностей или моделирования случайных явлений, таких как броуновское движение. Иррациональность также важна для решения уравнений.
Если сложить два иррациональных числа, например, 3√2 и 4√3, сумма будет иррациональна. Но в примере (3+4√2) + (-4√2) сумма равна 3. Это рациональное число. Нужно быть внимательнее при сложении и умножении двух нерациональных значений, потому что в результате может получиться иррациональное или рациональное число.
Сравнение с рациональными числами
Основное различие между рациональностью и иррациональностью заключается в том, что рациональные значения можно записать в виде дробей, а иррациональные — нет.
Целые числа. Все целые числа рациональные. Они включают в себя все действительные значения, как положительные, так и отрицательные.
Пример: число 3 можно записать в виде дроби: 31 или 62. Значит, оно рациональное.
Неповторяющиеся конечные десятичные дроби. Они также считаются рациональными. Конечные десятичные дроби могут быть записаны в виде дробей.
Пример: число 5,25 может быть записано как 5251000. Следовательно, оно рациональное.
Неповторяющиеся незаканчивающиеся десятичные дроби. Это наиболее популярные иррациональные значения. Десятичные дроби, которые никогда не заканчиваются, нельзя записать в виде дроби без округления. По этой причине они считаются нерациональными.
Пример: число 5,432698762 иррационально, потому что его нельзя записать в виде дроби.
Неидеальные квадратные корни. Можно вычислить квадратный корень из чисел 7, 12 или 18 с помощью калькулятора, но ответ, который вы получите, не будет преобразовываться в дробь. Значит, квадратные корни из 7, 12 и 18 иррациональны.
Пример: √12 = 3,4610161514. Число нельзя преобразовать в дробь, то есть оно иррациональное.