Коммутативное кольцо

Формальное определение

Коммутативное кольцо - кольцо, коммутативное относительно умножения.

Для коммутативного кольца должны соблюдаться все законы кольца:

• Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
• Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
• Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
• Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
• Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
• Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
• Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

, а также закон коммутативности умножения:

• Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y = y * x\).

Определение в виде кода на Scala

trait CRing[A] extends Ring[A]

Законы в виде кода на Scala

trait CRingLaw extends RingLaw:
  def checkCRingLaw[A: CRing](x: A, y: A, z: A): ValidatedNel[String, Unit] =
    checkRingLaw(x, y, z) combine
      check(
        CRing[A].times(x, y) == CRing[A].times(y, x),
        "times commutative: x * y = y * x"
      )

Примеры

Числа относительно сложения с 0 и умножения

(Z, +, *)

given CRing[Int] with
  val empty                                    = 0
  def combine(x: Int, y: Int): Int             = x + y
  def times(x: Int, y: Int): Int               = x * y
  extension (a: Int) override def inverse: Int = -a

Реализация

Реализация в Spire

import spire.algebra.CRing
import spire.math.Rational

CRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
CRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
CRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
CRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
CRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
CRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0

---

Ссылки:

• Spire home page
• Spire User's Guide
• Wikipedia