Коммутативное кольцо с единицей

Формальное определение

Коммутативное кольцо с единицей объединяет в себе коммутативное кольцо и кольцо с единицей.

Для коммутативного кольца с единицей должны соблюдаться следующие законы:

• Замыкание сложения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y \in R\).
• Ассоциативность сложения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x + y) + z = x + (y + z)\).
• Существование нулевого элемента: существует \(\exists 0 \in R\) такой, что для \(\forall x \in R\) выполняется \(0 + x = x + 0 = x\)
• Обратимость сложения: для \(\forall x \in R\) существует \((-x)\) такой, что \(x + (-x) = (-x) + x = 0\)
• Коммутативность сложения (commutative): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x + y = y + x\).
• Замыкание умножения (closure): для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y \in R\).
• Ассоциативность умножения (associativity): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \((x * y) * z = x * (y * z)\).
• Существование единичного элемента: \(\exists 1 \in R \quad \forall x \in R \quad x * 1 = 1 * x = x\)
• Коммутативность умножения: для \(\forall x, y \in R\) выполняется \(x * y = y * x\).
• Дистрибутивность (distributivus, распределительный закон): для \(\forall x, y, z \in R\) выполняется \(x * (y + z) = x * y + x * z\) и \((x + y) * z = x * z + y * z\).

Определение в виде кода на Scala

trait CRingWithUnity[A] extends CRing[A], RingWithUnity[A]

Законы в виде кода на Scala

trait CRingWithUnityLaw extends RingWithUnityLaw, CRingLaw:
  def checkCRingWithUnityLaw[A: CRingWithUnity](
      x: A,
      y: A,
      z: A
  ): ValidatedNel[String, Unit] =
    checkRingWithUnityLaw(x, y, z) combine
      checkCRingLaw(x, y, z)

Примеры

Числа относительно сложения с 0 и умножения с 1

(Z, +, *)

given CRingWithUnity[Int] with
  val empty: Int                               = 0
  val one: Int                                 = 1
  def combine(x: Int, y: Int): Int             = x + y
  def times(x: Int, y: Int): Int               = x * y
  extension (a: Int) override def inverse: Int = -a

Реализация

Реализация в Spire

import spire.algebra.CRing
import spire.math.Rational

CRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
CRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
CRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
CRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
CRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
CRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0
CRing.one[Rational]
// val res6: spire.math.Rational = 1

Ссылки:

• Spire home page
• Spire User's Guide