/
artemkorsakov
/
scalabook
GigaCode
beta
ОбзорЦентр заботыВойти

scalabook

Форк
0
Ветки: 1Коммиты: 1834Теги: 0
scalabook
/docs
/libs
/spire
/
rings.md 
308 строк · 12.9 Кб

Кольца и поля

Семейство классов типов Ring

представляет собой совокупность двух двоичных операций (аддитивной и мультипликативной). Spire определяет их, расширяя соответствующие аддитивные и мультипликативные трейты групп. Кольца также предоставляют метод pow
 (**
) для выполнения повторного умножения. В следующем списке описаны классы кольцевых типов, предоставляемые Spire:

Semiring

Semiring[A]

обеспечивает +
, zero
 и *
. Semiring[A]
 расширяет AdditiveCommutativeMonoid[A]
 и MultiplicativeSemigroup[A]
.

  • plus
     (+
    ): сложение
  • times
     (*
    ): умножение
  • pow
     (**
    ): возведения в степень (интегральная экспонента)
import spire.algebra.Semiring
import spire.math.Rational


Semiring.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Semiring.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Semiring.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8

Rng

Rng[A]

обеспечивает коммутативные +
, zero
, -
, и *
. Rng[A]
 расширяет Semiring[A]
 и AdditiveAbGroup[A]
.

  • negate
     (-
    ): обратная операция сложению
  • minus
     (-
    ): вычитание
  • zero
    : аддитивное тождество (такой элемент, что для любого x
     из множества x + zero = x
    )
import spire.algebra.Rng
import spire.math.Rational


Rng.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Rng.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Rng.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Rng.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
Rng.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
Rng.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0

Rig

Rig[A]

обеспечивает +
, zero
, *
 и one
. Rig[A]
 расширяет Semiring[A]
 и MultiplicativeMonoid[A]
.

  • zero
    : аддитивное тождество
  • one
    : мультипликативное тождество (такой элемент, что для любого x
     из множества x * one = x
    )
import spire.algebra.Rig
import spire.math.Rational


Rig.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Rig.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Rig.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Rig.zero[Rational]
// val res3: spire.math.Rational = 0
Rig.one[Rational]
// val res4: spire.math.Rational = 1

Ring

Ring[A]

обеспечивает коммутативные +
, zero
, -
, *
 и one
. Ring[A]
 расширяет Rig[A]
 и Rng[A]
.

import spire.algebra.Ring
import spire.math.Rational


Ring.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
Ring.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
Ring.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
Ring.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
Ring.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
Ring.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0
Ring.one[Rational]
// val res6: spire.math.Rational = 1

CRing

CRing[A]

обеспечивает коммутативный +
, zero
, -
, коммутативный *
 и one
. CRing[A]
 расширяет Ring[A]
 и MultiplicativeCMonoid[A]
.

import spire.algebra.CRing
import spire.math.Rational


CRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
CRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
CRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
CRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
CRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
CRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0
CRing.one[Rational]
// val res6: spire.math.Rational = 1

GCDRing (кольца НОД)

Коммутативные кольца (в литературе их также называют доменами (domains)) имеют богатую структуру.

GCDRing[A]

— это коммутативные кольца (расширяет CRing[A]
) с добавлением наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

GCDRing[A]

поддерживает следующие операции:

  • gcd
     (a gcd b
    ): наибольший общий делитель
  • lcm
     (a lcm b
    ): наименьшее общее кратное

И подчиняется следующим законам:

  • d * m === a * b
     для d = gcd(a, b)
     и m = lcm(a, b)
    ,
  • gcd
     ассоциативен и коммутативен,
  • lcm
     ассоциативен и коммутативен.

Обратите внимание, что НОД определяется с точностью до делимого элемента (единицы); в частности, его знак является вопросом соглашения.

Spire требует, чтобы эти операции были коммутативными. Обратите внимание, что поля имеют свободу действий для определения операции НОД. На практике экземпляры Field[A]

предоставляют либо тривиальную реализацию gcd(x != 0, y != 0) == 1
, либо определение, расширяющее определение, используемое для целочисленного кольца (gcd(a / b, c / d) == gcd(a, c) / lcm(b, d)
).

import spire.algebra.GCDRing
import spire.math.Rational
import spire.std.int.*


GCDRing.plus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res0: spire.math.Rational = 5/6
GCDRing.times(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res1: spire.math.Rational = 1/6
GCDRing.pow(Rational(1, 2), 3)
// val res2: spire.math.Rational = 1/8
GCDRing.negate(Rational(1, 2))
// val res3: spire.math.Rational = -1/2
GCDRing.minus(Rational(1, 2), Rational(1, 3))
// val res4: spire.math.Rational = 1/6
GCDRing.zero[Rational]
// val res5: spire.math.Rational = 0
GCDRing.one[Rational]
// val res6: spire.math.Rational = 1
GCDRing.gcd(15, 10)
// val res7: Int = 5
GCDRing.lcm(15, 10)
// val res8: Int = 30

EuclideanRing

Spire поддерживает евклидовы кольца (называемые EuclideanRing[A]

). Евклидово кольцо — это кольцо НОД (расширяет GCDRing[A]
), которое также поддерживает евклидово деление (например, поэтапное или целочисленное деление). Эта структура обобщает многие полезные свойства целых чисел (например, частное и остаток, а также наибольший общий делитель).

Формально евклидовы кольца определяют евклидову функцию f

такую, что для любого x
 и y
 в A
, если y
 ненулевое, то существуют q
 и r
 (частное и остаток) такие, что a = b*q + r
 и r = 0
 или f(r) < f(b)
. Для целых чисел обычно f
 - это функция абсолютного значения.

EuclideanRing[A]

поддерживает следующие операции:

  • equot
     (/~
    , a /~ b
    ): частное (евклидово деление)
  • emod
     (%
    , a % b
    ): остаток
  • equotmod
     (/%
    , a /% b
    ): частное и остаток, объединяет quot
     и mod
     в одну операцию.

Spire требует, чтобы b * (a /~ b) + (a % b)

было эквивалентно a
.

В целых числах евклидово частное и остаток соответствуют делению с остатком; однако знак результата является вопросом соглашения. Для рациональных чисел (или с плавающей запятой) a /~ b = a / b

и a % b = 0
 по определению.

import spire.algebra.EuclideanRing
import spire.std.int.*


EuclideanRing.plus(15, 10)
// val res0: Int = 25
EuclideanRing.times(15, 10)
// val res1: Int = 150
EuclideanRing.pow(15, 2)
// val res2: Int = 225
EuclideanRing.negate(15)
// val res3: Int = -15
EuclideanRing.minus(15, 10)
// val res4: Int = 5
EuclideanRing.zero[Int]
// val res5: Int = 0
EuclideanRing.one[Int]
// val res6: Int = 1
EuclideanRing.gcd(15, 10)
// val res7: Int = 5
EuclideanRing.lcm(15, 10)
// val res8: Int = 30
EuclideanRing.equot(15, 10)
// val res9: Int = 1
EuclideanRing.emod(15, 10)
// val res10: Int = 5
EuclideanRing.equotmod(15, 10)
// val res11: (Int, Int) = (1,5)

Field

Поля представляют собой коммутативные кольца с коммутативным умножением и мультипликативными обратными для всех ненулевых элементов. spire.Field[A]

расширяет algebra.Field[A]
 и EuclideanRing[A]
. Поля обобщают то, что большинство людей думает о рациональных числах.

Field[A]

поддерживает следующие операции:

  • reciprocal
     (a.reciprocal
    ): обратная операция умножению. Мультипликативный обратный a
    , т.е. one/a
    .
  • div
     (/
    , a / b
    ): деление a
     на b
    .
  • ceil
    : округление вверх
  • floor
    : округление вниз
  • round
    : округление до ближайшего

Несмотря на то, что поля находятся на вершине кольцевой иерархии, существует множество операций, которые поля не предоставляют:

  • равенство и упорядоченность (обеспечиваемые Eq[A]
     и Order[A]
    ).
  • квадратный корень и другие корни (предоставленные NRoot[A]
    ).
  • синус, косинус и тригонометрические функции (предоставлены Trig[A]
    ).
import spire.math.Real.apply


15.reciprocal
// val res0: spire.math.Real = 1/15
15 / 3
// val res1: Int = 5
15.24.ceil
// val res2: spire.math.Real = 16
15.24.floor
// val res3: spire.math.Real = 15
15.24.round
// val res4: spire.math.Real = 15

Иррациональные и трансцендентальные классы типов

Spire поддерживает квадратные корни и дробные степени через NRoot[A]

. Доступны следующие методы:

  • nroot
     (a nroot k
    ): корень k-й степени из a
     (тип k - Int
    )
  • sqrt
     (a.sqrt
    ): квадратный корень из a
  • fpow
     (**
    , a fpow b
    ): возведение в степень (принимает дробный показатель степени)

В Spire нет дробных типов, которые могли бы точно представлять иррациональные корни. Это означает, что многие законы, которые можно было бы написать о корнях, будут слабее, чем хотелось бы:

  • a.sqrt
     = (a nroot 2)
     = (a fpow 2.reciprocal)
  • если A
     может точно представить 1/k
    , то (a nroot k)
     = (a fpow k.reciprocal)
  • если (a nroot k)
     рационально, то (a nroot k).pow(k)
     = a

Типы приближенных значений, например Double

и BigDecimal
, содержат встроенную точность, с которой Spire может находить корни. Точные типы, например, Rational
 не имеют экземпляров NRoot
, определенных по умолчанию, но экземпляры могут быть созданы с точностью, заданной пользователем.

import spire.math.Real.apply


9 nroot 2
// val res1: spire.math.Real = 3
9.sqrt
// val res2: spire.math.Real = 3
3 fpow 2
// val res3: spire.math.Real = 9

Ссылки:

Использование cookies

Мы используем файлы cookie в соответствии с Политикой конфиденциальности и Политикой использования cookies.

Нажимая кнопку «Принимаю», Вы даете АО «СберТех» согласие на обработку Ваших персональных данных в целях совершенствования нашего веб-сайта и Сервиса GitVerse, а также повышения удобства их использования.

Запретить использование cookies Вы можете самостоятельно в настройках Вашего браузера.